Matematyka finansowa

Matematyka finansowa (6)

niedziela, 02 październik 2016 11:42

Matematyka finansowa - Zadania sprawdzające

Napisał

Zadania podstawowe

ZADANIE 1
Który z poniższych przepływów pieniężnych ma najniższą, a który najwyższą wartość bieżącą, jeżeli stopa procentowa wynosi 10%?
o 2000 PLN otrzymane za 3 lata
o 4000 PLN otrzymane za 9 lat
o 6000 PLN otrzymane za 15 lat
o 10 000 PLN otrzymane za 19 lat

ZADANIE 2
Jaką kwotę należy wpłacić na czteroletnią lokatę bankową oprocentowaną 5% w skali roku aby na koniec otrzymać 100 000 PLN? Kapitalizacja odsetek następuje w okresach miesięcznych.

ZADANIE 3
Wpłacasz na rachunek bankowy na koniec każdego kwartału 500 PLN. Ile uzyskasz po dziesięciu latach, jeżeli oprocentowanie wynosi 4%, a kapitalizacja odsetek następuje zawsze na koniec kwartału? O ile zmieni się wartość końcowa inwestycji, jeżeli oprocentowanie wynosi 5%?

ZADANIE 4
Ile warta jest dzisiejsza obietnica otrzymania następującego szeregu płatności: 2000 PLN na koniec każdego roku przez najbliższe 10 lat. Obliczenia przeprowadź dla stopy procentowej równej 4% i 12%? Ile wyniesie wartość obecna ww. przepływów, jeśli płatności będą następować na początku każdego roku?

ZADANIE 5
Pan Kowalski zdecydował się na program systematycznego oszczędzania. Polega on na wpłacaniu na koniec każdego miesiąca do banku kwoty 500 PLN. Ile zgromadzi na swoim rachunku Pan Kowalski po dwóch latach, jeżeli po roku wypłaci z banku 1 000 PLN? Oprocentowanie nominalne w skali roku wynosi 12%, a kapitalizacja następuje co miesiąc.

ZADANIE 6
Ile warta jest dzisiaj obietnica otrzymania w przyszłości następującego strumienia przychodów na koniec każdego roku: 10 000 PLN przez pierwsze siedem lat oraz 14 000 PLN przez kolejne pięć lat jeżeli stopa procentowa wynosi 10%.

ZADANIE 7
Wpłacasz na rachunek bankowy na koniec każdego roku 3 000 PLN przez pięć lat. Przez kolejne siedem po 4 000 PLN na koniec każdego roku. Ile uzyskasz po dwunastu latach jeżeli oprocentowanie wynosi 5%, a kapitalizacja odsetek następuje w okresie rocznym?

ZADANIE 8
Bank udziela rocznego kredytu, który ma być spłacony w czterech równych ratach. Raty są płatne na koniec każdego kwartału. Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 12%. Jaka jest wysokość udzielonego kredytu, jeżeli wysokość jednej raty wynosi 5 000 PLN (każda zawiera spłatę kapitału i odsetek)?

ZADANIE 9
Pewna osoba jest w trudnej sytuacji finansowej i zaproponowano jej odkupienie laptopa. Rozpatrujemy sprzedaż na raty. Pierwsza płatność to 800 PLN, a następna przez kolejnych 6 miesięcy po 300 PLN. Oprocentowanie kredytu bankowego wynosi teraz 1% w skali miesiąca. Na ile został wyceniony laptop?

4.6.2. Zadania rozszerzone
ZADANIE 1
Inwestor przez 20 lat inwestował pieniądze, które dostał w spadku – 1 000 000zł. Przez pierwsze 10 lat trzymał pieniądze na lokacie o oprocentowaniu w wysokości 5% (kapitalizacja miesięczna). Następnie dołożył do kwoty 100 000 zł i zakupił produkt inwestycyjny o kapitalizacji ciągłej z oprocentowaniem 4% (okres 5 lat). Po ukończeniu tej inwestycji zakupił samochód, który pięć lat temu kosztował 100 000zł, a jego cena co roku zwiększa się o 1%. Ile miał pod koniec okresu 20 letniego, jeśli przez ostatnie 5 lat trzymał pieniądze na lokacie z dzienną kapitalizacją o oprocentowaniu 3%?

ZADANIE 2
Firma zakupiła nowy budynek za 10 000 000 zł. Pieniądze te pochodzą ze sprzedaży środka trwałego (nastąpiło to 3 miesiące wcześniej). Za ile sprzedano środek trwały jeśli:
• Przez pierwszy miesiąc trzymano pieniądze na lokacie o oprocentowaniu 5% z kapitalizacją miesięczną.
• Przez następny miesiąc 4,5% z kapitalizacją ciągłą.
• Przez ostatni miesiąc 4% z kapitalizacją dzienną.

ZADANIE 3
Ile należy wpłacać na rachunek bankowy przez 10 lat (w odcinkach kwartalnych), aby na końcu zostać posiadaczem kwoty 1 000 000 zł? Oprocentowanie wynosi 8%, a kapitalizacja jest miesięczna.

ZADANIE 4
Ile jest warta dzisiaj obietnica wypłat co miesiąc 100 zł (z dołu) przez okres 10 lat? Oprocentowanie wynosi 10%, a kapitalizacja jest kwartalna.

ZADANIE 5
Inwestor chce zgromadzić kapitał. W tym celu planuje oszczędzać 10 lat. Zaplanował, że co kwartał będzie oszczędzał pewną kwotę. Potem przez następne 5 lat pozwoli tym funduszom pracować na lokacie, aby finalnie przez 20 lat otrzymywać kwartalną rentę w wysokości 10 000 zł. Wylicz jak duże muszą być wpłaty w pierwszym okresie (przez pierwsze 10 lat). Oprocentowanie wynosi 10% w skali roku, a kapitalizacja jest miesięczna. Założenie: wpłaty z dołu.

niedziela, 02 październik 2016 11:41

Matematyka finansowa - przykłady

Napisał

PRZYKŁAD 13

przyklad 16

PRZYKŁAD 14

przyklad 17

niedziela, 02 październik 2016 11:40

Renty

Napisał

Rentą nazywamy strumień przepływów pieniężnych występujących w regularnych okresach, często w tej samej wielkości. Przykładem renty może być otrzymywanie 100 zł wraz z końcem każdego kwartału. Wyróżniamy renty:

  • Z góry (płatności występują na początku okresu)
  • Z dołu (płatności występują na końcu okresu)

Jednym z najistotniejszych elementów w rozwiązywaniu problemów związanych z rentami jest dostosowanie stopy procentowej do okresu otrzymywania płatności. W praktyce można spotkać się z następującymi przypadkami:


[1] Okres kapitalizacji zgadza się z okresem dokonywania kolejnych wpłat.


PRZYKŁAD 10

przyklad 13

 rysunek 8

[2] Kapitalizacja występuje częściej niż dokonywanie wpłat. Zadanie polegające na obliczeniu wartości przyszłej po dwóch latach można obliczyć dwoma metodami.


PRZYKŁAD 11

przyklad 14

rysunek 9

[3] Wpłaty występują częściej niż kapitalizacja odsetek..

PRZYKŁAD 12

przyklad 15

rysunek 10

niedziela, 02 październik 2016 11:40

Wartość obecna

Napisał

Do wyliczenia wartości obecnej wykorzystamy przekształcenie modelu stosowanego w poprzednim podrozdziale. Jeśli wiadomo, że:

Zrzut_ekranu_2016-10-04_o_18.08.44.png

To po przekształceniu otrzymujemy wzór na wartość obecną:

Zrzut_ekranu_2016-10-04_o_18.08.49.png

Z uwzględnieniem ilości kapitalizacji w okresie rocznym (m):

Zrzut_ekranu_2016-10-04_o_18.08.59.png

W sposób analogiczny można wyróżnić trzy przypadki:

[1] Kapitalizacja następuje co roku.

[2] Kapitalizacja występuje częściej niż raz w roku (co pół roku/kwartalnie/miesięcznie).

[3] W okresie rocznym występuje nieskończenie wiele okresów kapitalizacji.

Dla kapitalizacji ciągłej (m):

niedziela, 02 październik 2016 11:39

Wartość przyszła (FV)

Napisał

Jeżeli wiadomo, że każda złotówka dzisiaj nie jest warta tyle samo jutro, za rok i za 10 lat, to z faktu tego wynika, że kwota otrzymana wczoraj, też ma inną wartość (co jest zgodne z intuicją ze względu na możliwość ulokowania jej na rachunku bankowym). W literaturze bardzo często można się spotkać z pojęciami:

  1. Wartość przyszła (FV, future value)
  2. Wartość obecna (PV, present value)

W tej części rozdziału pierwszego zostanie opisana metoda obliczania FV i PV na bazie informacji o danej inwestycji. Najczęściej występują cztery wielkości, na bazie których możemy obliczyć wartość wszystkich przepływów w dowolnym momencie. Są to:

  1. Okres inwestycji;
  2. Stopa procentowa;
  3. Kapitalizacja;
  4. Wielkości przepływów i moment ich wystąpienia.

Dla każdej grupy przepływów pieniężnych można obliczyć odpowiadającą im wartość przyszłą i wartość obecną. Metody te stanowią kamień węgielny modeli stosowanych w finansach. Na początku rozpatrzymy przykłady z niewielką ilością przepływów pieniężnych. Często dla ułatwienia można posłużyć się prezentacją graficzną, w której każdy dodatni przepływ pieniężny będzie odpowiadał strzałce skierowanej w górę, a każdy ujemny przepływ będzie zobrazowany przez strzałkę skierowaną w dół. Dla każdego przepływu pieniężnego można rozpatrywać dwa grafy (odpowiednio dla obu stron transakcji).
W rozpatrywanym przykładzie założono inwestycję, która trwa 3 lata. Kapitalizacja występuje co pół roku, a stopa procentowa wynosi 10% w skali roku. Wiedząc, że wartość dzisiejsza (obecna) przepływu pieniężnego wynosi 100 zł (PV) możemy obliczyć wartość w dowolnym momencie. Na rysunku zostały obliczone wartości po roku, po dwóch latach i po trzech latach, ale wykorzystując to samo równanie można oszacować wartość w każdym innym momencie, np. po 14 miesiącach:

 rysunek 1

Warto zaznaczyć, że gdy przepływy pieniężne dotyczą tylko i wyłącznie dwóch podmiotów to graficzna prezentacji strony B będzie stanowiła lustrzane odbicie schematu stworzonego dla strony A (np. podmiot A pożycza pieniądze firmie B na okres trzech lat, tak aby pod koniec 36 miesięcy odzyskać całą kwotę razem z narosłymi odsetkami). Oczywiście w praktyce struktura przepływów pieniężnych może być bardziej skomplikowana. Często jeden dodatni przepływ może wiązać się z wieloma małymi przepływami ujemnymi dla kilku innych podmiotów (sytuacja taka ma miejsce gdy firma emituje bony, które stanowią krótkoterminową inwestycję dla wielu podmiotów).

Dostosowanie stopy procentowej. W praktyce można spotkać się z następującymi przypadkami:

  1. Kapitalizacja następuje co roku.

PRZYKŁAD 3

przyklad 3

rysunek 2

2. Kapitalizacja występuje częściej niż raz w roku (co pół roku/kwartalnie/miesięcznie).

PRZYKŁAD 4

 przyklad 4

rysunek 3

    3.  W okresie rocznym występuje nieskończenie wiele okresów kapitalizacji (tzw. kapitalizacja ciągła).

wzory 1

PRZYKŁAD 5

przyklad 5

rysunek 4

 PRZYKŁAD 5

przyklad 6

niedziela, 02 październik 2016 11:38

Koncepcja wartości pieniądza w czasie

Napisał

Jednym z kluczowych terminów w nauce o finansach jest pojęcie przepływu pieniężnego (cash flow), który możemy zdefiniować jako pieniądz transferowany miedzy dwoma podmiotami, który jest nieodłącznie związany z działalnością tych podmiotów i wzajemnymi interakcjami (kontrakty handlowe, zakup i sprzedaż dóbr i usług itp.). Każdy przepływ pieniężny ma dwie strony: podmiot, który płaci (dla którego zdarzenie to jest ujemnym przepływem pieniężnym) oraz podmiot otrzymujący płatność (analogicznie - dodatni przepływ pieniężny).
Drugim najważniejszym elementem przy analizie przepływów pieniężnych jest czas. Koncepcja wartości pieniądza w czasie związana jest z faktem, że 100 zł otrzymane teraz nie jest warte tyle samo co 100 zł otrzymane za rok. Argumentami przemawiającymi za słusznością takiego podejścia są:

  1. Występowanie zjawiska inflacji (spadku ceny nabywczej pieniądze). Dziś za 100 zł prawdopodobnie możemy kupić więcej dóbr niż za rok.
  2. Możliwość inwestowania. 100 zł można ulokować na lokacie, dzięki czemu po roku będziemy mieli kwotę większą niż 100 zł.
  3. Ryzyko związane z odroczeniem otrzymania pieniędzy. To, że dany pomiot jest w dobrej kondycji finansowej dzisiaj, nie oznacza, że również będzie wypłacalny za rok.
  4. Preferowanie bieżącej konsumpcji. Większość osób wybierając pomiędzy 100 złotymi dziś, a identyczną kwotą za rok, wybrałaby ten pierwszy wariant.

Trzecim elementem istotnym przy analizie inwestycji jest stopa procentowa. Pewną regułą w finansach jest zależność pomiędzy stopą zwrotu a ryzykiem towarzyszącym danej inwestycji. Im wyższe ryzyko niepowodzenia, tym wyższa możliwa do osiągnięcia stopa zwrotu. Krótkoterminowe lokaty oferowane przez duże banki wiążą się z dużo mniejszą możliwą do osiągnięcia stopą zwrotu, niż w przypadku inwestycji w akcje. Mimo to prawdopodobieństwo utraty znacznej części kapitału na rynku akcji jest dużo większe w porównaniu z lokatą bankową.
Wprowadzając pojęcie stopy procentowej należy podkreślić pewne kwestie:

  1. Zgodnie z konwencją stosowaną w finansach stopa procentowa podawana jest w skali roku i jeżeli nie ma informacji dotyczącej zastosowania innej skali (np. „stopa procentowa podana jest w skali kwartału"), to przyjmujemy, że podana stopa jest w skali rocznej.
  2. Stopa procentowa zawsze musi dotyczyć jakiegoś okresu. Aby porównywać ze sobą różne stopy zwrotu należy najpierw upewnić się, czy są one podane w tej samej skali. Oczywistym błędem jest przykładowo porównywanie stopy zwrotu w okresie kwartalnym, ze stopą zwrotu w skali dziennej.
  3. W przeważającej większości analizowanych przykładów teoretycznych i rzeczywistych zagadnień praktycznych występuje zjawisko kapitalizacji odsetek. Związane jest to z dołączeniem wypracowanych odsetek do podstawy (kapitału) od której naliczamy odsetki w następnym okresie. Im częściej dokonujemy kapitalizacji, tym dynamiczniej powiększa się kwota, od której naliczamy odsetki, co w praktyce przekłada się na większe zyski.

PRZYKŁAD 1

przyklad 1

Na podstawie powyższego przykładu można stwierdzić, że zmiana okresu kapitalizacji nie przekłada się na znaczący wzrost zysków. Stwierdzenie to jest jednak błędne, ponieważ korzyści płynące z kapitalizacji widać dopiero przy dłuższym horyzoncie inwestycyjnym lub przy wyższych stopach zwrotu. Przeanalizujmy kolejny przykład:


PRZYKŁAD 2

przyklad 2